Méthode dite de Monte-Carlo - Présentation du principe

La méthode dite de Monte-Carlo permet d'estimer l'intégrale d'une fonction \(f\) positive sur un intervalle \([a~;~b]\) par une approche probabiliste.

Le principe est le suivant : on considère la courbe représentative de la fonction dans un repère, on prend un point au hasard dans le plan et on regarde si celui-ci est au-dessus ou en dessous de la courbe représentative de la fonction \(f\). On compte alors la proportion de points sous la courbe parmi ceux tirés au hasard et on utilise cette proportion pour estimer l’intégrale de \(f\) entre \(a\) et \(b\).

Exemple

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=\dfrac{1}{2}x^2-x\).
On veut estimer \(I=\displaystyle\int_2^5 f(t)\ \text dt\) à l'aide de la méthode de Monte-Carlo.
On remarque tout d'abord que la fonction \(f\) est positive sur \(\left[2~;~5\right]\) et que son maximum est atteint pour \(x=5\) comme illustré dans la figure suivante.
Ainsi, on va choisir aléatoirement un nombre réel \(x\) entre \(2\) et \(5\) puis un nombre réel \(y\) entre \(0\) et \(f(5)\) (qui représente le maximum) et deux cas se présentent.

Premier cas : le point obtenu en prenant comme coordonnées \((x~;y)\) est au-dessus de la courbe de \(f\). On a la situation suivante : ​​​​​

Dans ce cas, on ne prend pas en compte ce point dans le décompte des points qui tombent dans le domaine dont on veut calculer la surface.

Deuxième cas : le point obtenu en prenant comme coordonnées \((x~;y)\) est en dessous de la courbe de \(f\). On a la situation suivante : 

Dans ce cas, on prend en compte ce point dans le décompte des points qui tombent dans le domaine dont on veut calculer la surface.